Стохастические системы управления портфелем ценных бумаг

Нестабильность современных финансовых рынков заставляет пересмотреть многие традиционные схемы управления капиталом, базирующиеся как на фундаментальном и техническом анализе, так и на бурно развивающейся на Западе в последнее десятилетие теории известной под названием "money management" ([1]).

Дело в том, что основополагающим для упомянутой выше теории "money management" , является фактическое предположение, часто формулируемое в неявном или завуалированном виде, о стационарном характере функции распределения, определяющей вероятность выигрыша или проигрыша в каждой отдельно взятой парной (полностью обнуляющей позиции) сделке при использовании той или иной торговой стратегии. Естественно, что в современных условиях такое предположение начинает выглядеть весьма проблематичным.

Таким образом, возникает естественное стремление, оставив в силе основную идею современной теории управления капиталом (для достижения приемлемой доходности, по возможности, экономно использовать предоставляемый финансовый ресурс), построить схему управления, не использующую в явном или неявном виде указанное предположение.

Роль подобных схем управления могут играть стохастические системы.

Принципиальным внешним отличием стохастической системы от привычных схем управления капиталом является, как правило, непарность совершаемых сделок, а именно, от открытия до закрытия позиции система может покупать и частично продавать различное количество акций, оставаясь при этом в рамках заданных бюджетных ограничений.

Главенствующим условием применения данной схемы управления капиталом является не первоначальный объем инвестированных средств, а наличие, пусть относительно небольшого, но непрерывного денежного потока, например, из общего потока поступающих прибылей инвестора, обеспечивающего диверсификацию общего бизнеса и направляемого на конкретный финансовый сегмент рынка. При достижении приемлемого уровня доходности дополнительные денежные средства, обеспечившие наряду с первоначальным объемом инвестированных средств, ее реализацию, могут по необходимости либо реинвестироваться, либо направляться на другие сегменты. Таким образом, гибкое маневрирование денежными потоками является основой успешного применения указанной схемы управления инвестиционным портфелем.

Однако, даже приостановка в силу ряда причин необходимой денежной подкачки в систему управления, первоначально занимающую длинную позицию (бумаги не заимствуются), вовсе не означает прекращение спекуляций по достижению приемлемого уровня доходности на общий объем вложенных денежных средств. В этой ситуации на другом субсчете, позволяющем избежать клиринговых сделок, начинают совершаться "короткие продажи" (short sales) на основе системы управления, занимающей короткую позицию, под залог уже приобретенных акций.

Таким образом, в стохастической системе управления отсутствует традиционное понятие "stop loss", означающее фиксирование убытков при достижении ими определенного заранее установленного уровня. Указанные системы не стараются "угадать" направление движения рынка, а обеспечивают "продавливание" средневзвешенной цены совершаемых сделок вниз или вверх, в зависимости от использования системы управления занимающей длинную или короткую позицию.

Основой успешного функционирования указанной системы управления является не движение цены акций вверх или вниз, а наличие их высокой ликвидности и внутри дневной волатильности, которые в силу высокой спекулятивности современного финансового рынка имеют тенденцию к росту.

В настоящей статье обсуждается применяемая на практике простейшая стратегия управления портфелем, включающем один вид ценных бумаг и наличные деньги, базирующаяся лишь на весьма общих предположениях о стохастическом характере процесса ценообразования и обеспечивающая, при выполнении ряда, как правило, реально имеющих место условий относительно динамики цены и достаточном финансовом ресурсе, приемлемый асимптотический во времени рост прибыли. Более сложная стратегия управления портфелем, включающем несколько видов ценных бумаг и наличные деньги, требует отдельного рассмотрения.

Первоначально опишем систему управления, занимающую только длинную позицию.

Введем в рассмотрение понятие стоимости портфеля на момент времени , определяемую соотношением

(1)

где – количество ценных бумаг одного вида,

– количество денег в портфеле,

– текущая цена бумаги.

Зададим торговую стратегию, определяющую на каждый момент времени количество бумаг в портфеле, следующей зависимостью

. (2)

Построение управляющей функции , обеспечивающей асимптотический во времени рост стоимости капитала, является конечной целью решения поставленной задачи, при этом изменение стоимости капитала вдоль наблюдаемого значения цены (предполагается, что сама цена iредставляет собой описанный ниже случайный процесс) задается формулой

, (3)

где – величина стоимости портфеля вдоль наблюдаемой реализации цены , при этом интеграл в правой части соотношения (3) понимается в обычном римановском смысле. Соответственно, асимптотический во времени рост стоимости капитала означает, что iри .

Напомним, что хорошо известной стратегии самофинансирования ([2]), соответствует зависимость (2), в которой e тогда понятия стоимости портфеля и стоимости капитала идентичны ([3]).

Теоретической основой для конструирования стохастических систем управления портфелем является формулируемое ниже утверждение ([4]).

Пусть выполняются следующие условия:

1. Изменение цены следует стохастическому дифференциальному уравнению

, (4)

где – стандартный Винеровский процесс (броуновское движение), при этом, мгновенное изменение трендовой составляющей цены e мгновенное значение волатильности a шумовой составляющей цены не обязательно должны быть наблюдаемыми и, соответственно, подлежать идентификации.

2. Наблюдаемое значение цены iа любом наперед заданном временном интервале должно быть отделено от нуля некоторой отличной от нуля постоянной.
3. Волатильность может становиться меньше некоторого строго положительного порогового значения только на ограниченных промежутках времени.
4. В случае необходимости всегда существует возможность "подкачать" в портфель требуемые дополнительные денежные средства.

Путь утверждения заключается в том, что при выполнении условий 1–4 можно построить управление портфелем, обеспечивающее асимптотический во времени рост капитала, при этом существенно отметить, что само управление не зависит явным образом от коэффициентов и из соотношения (4).

Доказательство сформулированного утверждения базируется на приводимых ниже рассуждениях.

Применяя к функции , где oдовлетворяет (4), формулу Ито и сравнивая ее с соотношением (2), получим

, (5)

. (6)

Для удобства вычислений, без потери общности и с использованием соответствующей нормировки, вытекающей из второго предположения, будем полагать, что значения принадлежат интервалу , где . В дальнейшем границы указанной открытой полосы будем называть соответственно нижним и верхнем порогом чувствительности.

Введем в рассмотрение , являющуюся собственной функцией, соответствующей первому собственному числу следующей задачи Штурма-Лиувилля

, (7)

. (8)

Управление зададим через вспомогательную функцию

. (9)

Таким образом, . На начальный момент управления портфель будем считать пустым, то есть не содержащим ни денег, ни бумаг и соответственно

. (10)

Кроме того, зададим следующие граничные условия

при , (11)

при . (12)

В силу соотношения (6) выполнение граничного условия (11) означает, что система управления стремится полностью избавиться от бумаг, если цена приближается к верхнему порогу чувствительности. Одновременно, из соотношения (1) видно что в силу граничного условия (12), система управления стремится купить бумаги на все имеющиеся в портфеле наличные деньги при стремлении цены к нижнему порогу чувствительности.

Записывая решение смешанной задачи (10), (11), (12) для уравнения (5), где определяется соотношением (9), получим

, (13)

при этом является минимальным строго положительным корнем уравнения

(14)

Отметим, что в соотношениях (13), (14) используется явный вид решения задачи (7), (8) ([5]), при этом выбор первого собственного числа обеспечивает отличие от нуля соответствующей собственной функции внутри указанной полосы.

Вводя в рассмотрение новую управляющую функцию , исходя из соотношения

, (15)

и используя зависимость (3), непосредственно получим формулу, определяющую изменение стоимости капитала вдоль наблюдаемого значения цены

. (16)

Если управление является любой ограниченной неотрицательной ступенчатой функцией, принимающей значения меньше некоторого порогового только на ограниченных промежутках времени, то первое слагаемое в формуле (16) является положительным и неограниченно растет с ростом , в то время как второе по модулю не превышает некоторой постоянной величины в силу ограничения, налагаемого на волатильность и вытекающего из третьего предположения.

Кроме того, исходя из формулы (6), нетрудно определить количество бумаг, которое необходимо иметь в портфеле при наблюдаемом значении цены

. (17)

Заметим, что в соотношение (17) не входит не только из уравнения (4), но и волатильность . Таким образом, для построения искомого управления нет необходимости идентифицировать указанные величины, хотя как видно из соотношения (16) увеличение волатильности ведет к существенному росту стоимости капитала. Выбор конкретных значений порогов чувствительности не является принципиальным, поскольку компенсируется в определенной степени характерным масштабом значений функции , определяющим в конечном итоге количество покупаемых и продаваемых бумаг, исходя из формулы (17) в соответствии с отведенным материальным ресурсом.

В случае необходимости, изменяя границы указанной выше полосы, будем исходить из того, что наблюдаемое значение цены может находиться в некоторой произвольно малой, но конечной окрестности нижнего порога чувствительности лишь ограниченное время.

Заметим, что аналогично можно сконструировать систему управления, занимающую только короткую позицию, при этом нужно лишь во втором условии сформулированного утверждения заменить требование отделимости "снизу" на требование отделимости "сверху".

Указанные системы управление обладают следующим важным свойством.

Первоначально рассмотрим вариант, когда используется только длинная позиция. На рис.1 пунктиром изображен некоторый ценовой уровень, относительно которого цена движется вниз, начиная с точки A, достигает дна образующейся ямки (точка K) и начинает двигаться вверх, достигая точки B, соответствующей средневзвешенной цене имеющихся в портфеле ценных бумаг (отдельные пакеты бумаг приобретаются по разным ценам в соответствии с формулой (17)), приобретенных на рассматриваемом ценовом интервале. Неравномерность объемов покупаемых/продаваемых пакетов ценных бумаг при реализации указанной системы управления всегда будет приводить к тому, что точка B располагается строго ниже середины глубины получившейся ямки, как указано на рис.1.

Соответственно, система управления, занимающая только длинную позицию, увеличивает капитал при движении цены вверх, вбок и при не слишком сильном ее движении вниз, что означает существование относительно сильных "откатов" цены вверх.

В случае системы, занимающей только короткую позицию, ситуация является зеркально противоположной и, соответственно, рост капитала происходит при движении цены вниз, вбок и при не слишком сильном ее движении вверх, что означает существование относительно сильных "откатов" цены вниз.

Понятно, что для практического применения наиболее проблематичными из приведенных выше условий 1–4 являются первое и четвертое, а также процедура дискретизации, поскольку исходная система управления является непрерывной. Остановимся на данных вопросах более подробно.

x – значение средневзвешенной цены

Что касается первого предположения, то указанная система позволяет строить теоретическую кривую изменения стоимости капитала в зависимости от наблюдаемого значения цены и заданного конкретного управления , исходя из формулы (16). Одновременно система позволяет определять по выбранному управлению количество ценных бумаг , которое необходимо иметь в портфеле на каждый момент времени в соответствии с формулой (17) и, тем самым, строить фактическую кривую роста капитала. Для высоколиквидных акций, торгуемых как на американском, так и на российском рынке указанные теоретическая и фактическая кривая изменения стоимости капитала обладают высокой степенью положительной корреляции, что свидетельствует об адекватности приведенной модели ценообразования. К сожалению, аналогичное утверждение не имеет места на рынке валют, в частности на рынке FOREX. По-видимому, такое кардинальное различие определяется в первую очередь тем, что цена акции формируется, прежде всего, действиями самих многочисленных участников торгов, порождающих броуновский характер ее шумовой составляющей.

Относительно параметра дискретизации, когда система управления реагирует на определенное изменение цены, можно сказать, что данная величина определяется характерным локальным масштабом ее внутридневных колебаний и составляет на современных рынках величину порядка 1.5% – 2% от текущего значения цены.

Что касается четвертого условия, то оно предполагает в случае достаточно резкого "безоткатного" изменения цены "подкачку" в портфель необходимого количества денежных средств для продолжения спекуляций. Разумеется, что на время использования дополнительных средств, общая доходность в процентах годовых исчисляется с их учетом. В случае достижения приемлемой доходности система управления, фиксируя прибыль, закрывает позиции, а дополнительно используемые денежные средства выводятся из оборота.

Наименование бумаги	Период времени	Объем средств в системе управления	Задаваемая доходность (% годовых)	Диапазон изменения цен (от .. до)	Максимальное и минимальное значение цены
РАО "ЕЭС России" (длинная позиция)	03.01.2002 - 02.10.2002	100 000.00	40.00%	4.791 2.755	5.200 2.200
РАО "ЕЭС России" (короткая позиция)	03.01.2002 - 02.10.2002	100 000.00	40.00%	4.791 2.755	5.200 2.200
Dell Computers Corporation (длинная позиция)	08.15.2001 - 05.08.2002	100 000.00	20.00%	25.84 23.99	30.50 16.10
Dell Computers Corporation (короткая позиция)	08.15.2001 - 05.08.2002	100 000.00	20.00%	25.84 23.99	30.50 16.10

Таблица 1. (продолжение)

Максимальный объем дополнительно подкаченных средств	Число сделок	Комиссия	Величина чистой прибыли	Максимальная просадка счета	Фактическая доходность (% годовых)
150 000.00	454	5 106.43	64 465.30	29 849.25	41.91%
70 000.00	464	2 298.50	35 537.60	5 093.30	44.19%
10 000.00	514	7 710.00	23 952.20	7 590.00	26.42%
270 000.00	579	8 685.00	34 264.30	10 867.40	41.48%

В таблице 1 приведены итоговые результаты работы построенной системы управления, занимающую как длинную, так и короткую позицию, за определенные отрезки времени по ряду ценных бумаг, торгуемых как на американском NASDAQ, так и на российской ММВБ. При этом денежные средства исчисляются соответственно в долларах и рублях, а размер комиссионных на NASDAQ составляет 15 долларов за сделку, на ММВБ – 0.14% от оборота.

Все приведенные расчеты сделаны без учета капитализации первоначального объема вложенных средств. Отметим, что фактическая доходность может существенно превышать задаваемую по причине скачкообразного изменения цены, особенно между торговыми сессиями.

Рис. 2  Динамика изменения прибыли с использованием системы управления, занимающей длинную позицию, при спекуляциях акциями компании РАО "ЕЭС России" с 3.01.2002 по 2.10.2002.

На рисунках 2, 3 приведена динамика изменения величины общей и чистой (с учетом комиссионных издержек) прибыли при использовании систем управления, занимающих соответственно длинную и короткую позиции, для спекуляций по акциям компании РАО "ЕЭС России" из таблицы 1. По оси абсцисс откладываются номера совершаемых сделок. Соответственно, график изменения цен совершаемых сделок по акциям указанной компании за соответствующий период времени изображен на рисунке 4.

Наконец, в таблице 2 приведена выдержка из промежуточного протокола работы системы управления, занимающей длинную позицию при спекуляциях акциями Dell Computers Corporation из таблицы 1.

Рис. 3   Динамика изменения прибыли с использованием системы управления, занимающей короткую позицию, при спекуляциях акциями компании РАО "ЕЭС России" с 3.01.2002 по 2.10.2002.

 

 

 

Рис. 4     График изменения цен совершаемых сделок по акциям компании РАО "ЕЭС России" за период с 3.01.2002 по 2.10.2002.

 

 

Дата	Время	Цена	Количество бумаг на покупку или продажу	Объем портфеля	Прибыль	Комиссия	Чистая прибыль	Прибыль по текущей позиции	Свободные деньги
01/09/02	22:55	29.90	100	0	22 249.90	5025	17 224.90	0.00	100000.00
01/09/02	23:35	29.41	200	100	22 200.90	5040	17 160.90	-49.00	97010.00
01/10/02	17:40	28.91	200	300	22 050.90	5055	16 995.90	-199.00	91128.00
01/10/02	20:10	29.43	100	500	22 310.90	5070	17 240.90	61.00	85346.00
01/11/02	17:45	29.90	100	600	22 592.90	5085	17 507.90	343.00	82403.00
01/11/02	17:50	29.85	-700	700	22 557.90	5100	17 457.90	308.00	79413.00
01/11/02	20:45	29.33	100	0	22 557.90	5115	17 442.90	0.00	100000.00
01/11/02	21:55	28.77	200	100	22 502.00	5130	17 372.00	-55.90	97067.00
01/11/02	23:25	29.21	100	300	22 633.70	5145	17 488.70	75.80	91312.80
01/14/02	17:35	28.64	200	400	22 405.70	5160	17 245.70	-152.20	88391.80
01/14/02	19:20	28.20	200	600	22 141.70	5175	16 966.70	-416.20	82663.80
01/14/02	20:10	27.77	200	800	21 797.70	5190	16 607.70	-760.20	77023.80
01/14/02	23:15	28.19	200	1000	22 217.70	5205	17 012.70	-340.20	71469.80
01/15/02	19:05	28.77	-1200	1200	22 913.70	5220	17 693.70	355.80	65831.80
01/15/02	20:45	28.31	100	0	22 913.70	5235	17 678.70	0.00	100000.00
01/16/02	17:40	27.81	200	100	22 863.70	5250	17 613.70	-50.00	97169.00
01/17/02	17:35	28.39	100	300	23 037.70	5265	17 772.70	124.00	91607.00
01/17/02	23:35	28.92	200	400	23 249.70	5280	17 969.70	336.00	88768.00
01/18/02	17:35	28.28	200	600	22 865.70	5295	17 570.70	-48.00	82984.00
01/18/02	18:05	27.81	200	800	22 489.70	5310	17 179.70	-424.00	77328.00
01/18/02	18:55	28.86	-1000	1000	23 540.70	5325	18 215.70	627.00	71766.00

Практическая реализация стохастических систем управления осуществляется с использованием ECN (электронных коммуникационных сетей), обеспечивающих оперативный доступ в режиме реального времени участникам фондового рынка к международным биржевым площадкам таким, как NASDAQ и NYSE с помощью различных систем прямого доступа ([6]). Доступ к торгам на ММВБ осуществляется с помощью информационно-торговой системы QUIK. Программное обеспечение работы стохастических систем управления реализуется через специальный программный комплекс Online Trader, описание которого будет дано в отдельной статье.

5. Э. Камке Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1971.