представляющую собой последовательность действительнозначных случайных величин

и последовательность информации, известной к соответствующему моменту времени

Y(i), i=0,1,….,n,….,

представляющую собой последовательность не обязательно действительнозначных случайных величин, таких, что

(С(0),…,С(t)) включается в Y(t).

Самофинансируемым портфелем мы назовем портфель из двух активов

(S(i) («бумаги», в том числе и отрицательные значения при шорте), B(i) (деньги, в том числе и отрицательные значения при плече)), такой что для любого i больше 0

(S(i)-S(i-1))*C(i)+(B(i)-B(i-1))=0

т. е. изменение стоимости самофинансируемого портфеля за 1 шаг

(S(i)*С(i)+B(i))-(S(i-1))*C(i-1)+B(i-1))

равно изменению стоимости актива за 1 шаг, умноженному на число бумаг (при шорте на число проданных бумаг) в портфеле в предыдущий момент времени

S(i-1)*(C(i)-C(i-1))

и прирост и убыток достигается только за счет изменения стоимости актива, но не ввода-вывода средств.

Стратегией для самофинансируемого портфеля на активе с начальным капиталом К назовем последовательность действительнозначных функций,

S(i)=S(Y(i)),

равных «числу» бумаг в портфеле перед i+1 шагом, для которой имеет место условие

K=S(0)*C(0)+B(0).

Действительнозначность S(i) нужна нам для последующих рассуждений, а погрешностью, возникающей из-за необходимости округления этой функции до целого числа при практическом применении, мы пренебрежем, так как при возможности покупки и продажи большого числа лотов, эта погрешность, в общем, непринципиальна.

Очевидно, что для финансируемой стратегии |S(i)| меньше, либо равен a*K(i)/C(i), где а>=1 – параметр определяемый маржой, предоставляемой брокером. Тогда S(i) можно переписать в виде r(Y(i))*a*K(i)/C(i), где 1>=|r(Y(i)|>=0.

Тогда доходность стратегии за 1 шаг перепишется в виде

(K(t+1)-K(t))/K(t)=a*r(Y(t))*d(t+1), где d(t+1)=(C(t+1)-C(t))/C(t).

Так как дальнейшие рассуждения будут касаться одного шага стратегии, то они будут не зависеть от t и потому в дальнейшем знак t в обозначениях мы опустим.

Средняя доходность нашей стратегии при фиксированном Y на 1 шаг будет равна

a*r(Y)*E(d|Y), где E(d|Y) – условное среднее d по Y (определение условного среднего см., например, [1] параграф 5.6 пункт 2.),

а дисперсия доходности (как мера риска)

(a*r(Y))^2*(E(d^2|Y)-(Ed|Y)^2).

Величину в последних скобках называют условной дисперсией и обозначают D(d|Y).

Рассмотрим задачу нахождения стратегии с максимальной средней доходностью по распределению Y при некоторых ограничениях на дисперсии доходности.

1. Стратегия с максимальной средней доходностью при отсутствии ограничений на дисперсию.

Нетрудно видеть, что максимум средней доходности всегда достигается на r(Y)=r’(Y)*ЗНАК (E(d|Y), где 1>=r’(Y)>=0, В силу неравенства 1>=r’(Y)>=0,

a*E|E(d|Y)|>=a*Er’(Y)*|E(d|Y)|,

и равенство достигается на стратегии r’(Y)=1, если |E(d|Y)| не равно нулю и r’(Y)=0 при |E(d|Y)|=0.

При этом среднее дисперсии для такой стратегии равно

D=a^2*E I(|E(d|Y)| не равно нулю)*D(d|Y), где I(W) – индикатор события W.

Как мы видим, второй множитель у средней дисперсии в оптимальной стратегии уже не зависит от воли исследователя и определяется исключительно рынком.

И поэтому задачей исследователя в данном случае является лишь отбор таких Y, что |E(d|Y)| не равно нулю и выбор значения а.

Если E(d|Y) не могут быть вычислены аналитически, то построение стратегии с максимальной средней доходностью сводится к задаче различения гипотезы ЗНАК(E(d|Y)) не равен нулю против альтернативы ЗНАК(E(d|Y))=0. Отметим, что если в данном критерии используется несмещенная статистика для ЗНАК(E(d|Y)), то средняя доходность такой стратегии будет равна максимально возможной - E|E(d|Y)|, а дисперсия вырастет «пропорционально» ошибке критерия. «Пропорциональность» взята в кавычки неслучайно, так как требует введения дополнительных условий.

2. Стратегия с максимальной средней доходностью при ограничениях на среднюю дисперсию доходности.

В силу неравенства 1>=r’(Y)>=0, средняя дисперсия любой доходности равна (a*z)^2*D для некоторого 1>=z>=0.

Рассмотрим задачу построения стратегии с максимальной средней (по Y) доходностью при дисперсии равной (a*z)^2*D.

Введем ряд величин. Пусть М – множество неотрицательных действительных чисел таких, что 0 принадлежит М и для любого положительного m из М, существует Y такой, что m=|E(d|Y)|/(a*D(d|Y)).

Также, если существует Y такой, что |E(d|Y)| не равен нулю, а D(d|Y)=0 (т. е. d определяется по Y однозначно и можно получить безрисковый доход), то будем считать, что и «плюс бесконечность» принадлежит M.

Через D(m), m принадлежит M, обозначим среднюю дисперсию стратегии r’(Y)=1, если |E(d|Y)|/(a*D(d|Y))>m и r’(Y)=0 в противном случае, деленную на а^2.

Из определения D(m) следует, что для любых двух m(1) и m(2) из M, таких что m(1)>m(2), D(m(2))>D(m(1)) и D(0)=D, а D(плюс бесконечность)=0.

Тогда получим, что для любого 1>=z>=0, существует m такое что

D(m’)>=z^2*D>=D(m), где m’= sup {n | n принадлежит M и m>n}.

Если z^2*D=D(m), то согласно теореме Куна-Такера получим, что максимум средней доходности достигается на упомянутой выше стратегии r’(Y)=1, если |E(d|Y)|/(a*D(d|Y))>m и r’(Y)=0 в противном случае.

Аналогично, если z^2*D=D(m’), то максимум средней доходности достигается на стратегии r’(Y)=1, если |E(d|Y)|/(a*D(d|Y))>m’ и r’(Y)=0 в противном случае.

Если D(m’)>z^2*D>D(m), то в соответствии с той же теоремой получаем, что максимум средней доходности достигается на стратегии

r’(Y)=1, если |E(d|Y)|/(a*D(d|Y))>m,
r’(Y)=КОРЕНЬ ((z^2*D-D(m))/ (D(m’)-D(m)), если |E(d|Y)|/(a*D(d|Y))=m и
r’(Y)=0, m>|E(d|Y)|/(a*D(d|Y)).

Таким образом, при построении стратегии с максимальной средней доходностью при фиксированной средней дисперсии доходности задачей исследователя является нахождение оценок величин |E(d|Y)|/D(d|Y) и выбор величины а.

3. Стратегия с максимальной средней доходностью с ограничениями на дисперсию доходности при любой информации.

Ограничение на дисперсию при любом Y мы можем записать в виде неравенства

(a*z)^2*D>=(a*r(Y))^2*D(d|Y).

Тогда из определения средней доходности получим, что ее максимум достигается на стратегии r’(Y)=1, z^2*D/D(d|Y)>=1, и r’(Y)=КОРЕНЬ (z^2*D/D(d|Y)) в противном случае.

Отметим, что при одинаковых средних дисперсиях доходности, средняя доходность этой стратегии ниже аналогичного показателя для оптимальной доходности из п. 2.

Таким образом при построении стратегии с максимальной средней доходностью с фиксированной дисперсией доходности для любой информации Y задачей исследователя является оценка величин D(d|Y) и отбор Y с |E(d|Y)|>0.