С(i), i=0,1,….,n,…..

представляющую собой последовательность случайных величин.

Самофинансируемым портфелем мы назовем портфель из двух активов

(S(i) («бумаги», в том числе и отрицательные значения при шорте), B(i) (деньги, в том числе и отрицательные значения при плече)), такой что для любого i больше 0

(S(i)-S(i-1))*C(i)+(B(i)-B(i-1))=0

т. е. изменение стоимости самофинансируемого портфеля за 1 шаг

(S(i)*С(i)+B(i))-(S(i-1))*C(i-1)+B(i-1))

равно изменению стоимости актива за 1 шаг, умноженному на число бумаг (при шорте на число проданных бумаг) в портфеле в предыдущий момент времени

S(i-1)*(C(i)-C(i-1))

и прирост и убыток достигается только за счет изменения стоимости актива, но не ввода-вывода средств.

Стратегией для самофинансируемого портфеля на активе с начальным капиталом К назовем последовательность действительнозначных функций,

S(i)=S(C(0),C(1),…,C(i)),

равных «числу» бумаг в портфеле перед i+1 шагом, для которой имеет место условие

K=S(0)*C(0)+B(0).

Действительнозначность S(i) нужна нам для последующих рассуждений, а погрешностью, возникающей из-за необходимости округления этой функции до целого числа при практическом применении, мы пренебрежем, так как при возможности покупки и продажи большого числа лотов, эта погрешность, в общем, непринципиальна.

Очевидно, что для любого n прирост (убыток) стоимости портфеля за n шагов равен

CУММ(S(i-1)*(C(i)-C(i-1)), i=1,…,n), а доходность составит

CУММ(S(i-1)*(C(i)-C(i-1)), i=1,…,n)/К.

Без ограничения общности можно считать, что

S(i)=S(C(0),C(1)-С(0),…,C(i)-C(i-1)),

т. е. функция от переменных C(0),C(1)-С(0),…,C(i)-C(i-1), а не C(0),C(1),…,C(i).

Очевидно, что среднюю доходность любой самофинансируемой стратегии можно переписать в виде суммы

CУММ (Е((S(i-1)-ЕS(i-1))*(C(i)-C(i-1)-E(C(i)-C(i-1))), i=1,…,n)/К+ CУММ (ЕS(i-1)*E(C(i)-C(i-1))), i=1,…,n)/К, где Е – знак среднего,

С целью сокращения числа скобок в дальнейших формулах E(C(i)-C(i-1)) обозначим через Е(i).

Рассмотрим задачу нахождения максимума CУММ Е((S(i-1)-ЕS(i-1))*(C(i)-C(i-1)-E(i)), i=1,…,n)/К. Известно, что максимум одного слагаемого этой суммы достигается при

S(i-1)=ЕS(i-1)+КОРЕНЬ(DS(i-1)/ DM(i))*(M(i)-E(i)), (1)

где D – знак дисперсии, а М(i) – условное среднее C(i)-C(i-1) по C(0),C(1)-С(0),…,C(i-1)-C(i-2), если DM(i) больше нуля, или при совершенно произвольном S(i-1) при DM(i)=0.

Напомним, что всегда ЕМ(i)=E(i), а также то, что М(i) – некоторая действительнозначная функция от C(0),C(1)-С(0),…,C(i)-C(i-1).

И этот максимум равен КОРЕНЬ(DS(i-1)* DM(i)).

Таким образом, мы получаем, что стратегия с максимальной средней доходностью имеет среднюю доходность

CУММ (КОРЕНЬ(DS(i-1)* DM(i)), i=1,…,n)/К+ CУММ (ЕS(i-1)*E(i)), i=1,…,n)/К.

Так как ЕS(i-1) являются предметом оптимизации и DS(i-1) не зависят от них, то по неравенству Коши-Буняковского для второй суммы получаем, что стратегию с максимальной средней доходностью следует искать среди стратегий с S(i), удовлетворяющим равенствам

ES(i-1)=H(1)* E(i) ,

А из неравенства Коши-Буняковского для первой суммы получаем для DS(i) в оптимальной стратегии получим

DS(i-1)=(H(2))^2*D(M(i)).

Подставляя эти равенства в формулу для средней доходности оптимальной стратегии, получаем

Н(1)* CУММ (E(i)^2, i=1,…,n)/К +Н(2)* CУММ (DM(i), i=1,…,n)/К

И снова применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем, что максимум по Н(1), Н(2) достигается в точке

Н(1)=Н*CУММ (E(i)^2, i=1,…,n),
Н(2)=Н*CУММ (DM(i), i=1,…,n).

Теперь, подставляя два последних равенства, в равенство (1) получаем явный вид для S(i-1) в оптимальной стратегии

S(i-1)=H*(CУММ (Е(i)^2, i=1,…,n) )* E(i)+CУММ (DM(i), i=1,…,n)*(M(i)-E(i)), (2)

с точностью до неизвестной константы Н.

Итак, у нас остался один неопределенный параметр стратегии – Н. В силу того, что средняя доходность оптимальной стратегии, является линейной функцией от Н с неотрицательным коэффициентом при Н, то Н должно быть больше нуля. А отсюда получается, что средняя доходность найденной оптимальной стратегии, по крайней мере, не убывает с ростом Н. В то же время наличие ограниченного начального капитала К и ограничения на маржу (при «плечевании» и шортах) дают нам верхнюю оценку для Н, которая и будет необходимой константой в стратегии с максимумом средней доходности.

Также заметим, что и стандартное отклонение найденной стратегии является линейной функцией от Н и с ростом Н возрастает. Поэтому еще одним ограничением сверху на Н может быть допустимый риск. Правда задача оценки риска требует дополнительных условий, так как, в общем случае, распределение доходности стратегии с S(i), удовлетворяющими условиям (2), нам неизвестно и может быть совершенно любым.